El horóscopo progresado, Alan Leo, 2. Fórmulas

El horóscopo progresado

Alan Leo

PARTE IV


NOTA PRELIMINAR A LAS DIRECCIONES PRIMARIAS

      El lector para el cual es completamente nuevo el tema de lo que se llama Direcciones Primarias, debería, antes de seguir adelante, volver a la Parte I, Capítulo VI, que trata de la Progresión del Horóscopo, y ver si comprende la diferencia entre los dos diferentes métodos de progresión. El método del Horóscopo Progresado, que incluye las Progresiones Secundarias, se basa principalmente en la revolución orbital de la tierra y en los aparentes movimientos orbitales del Sol, la Luna y los planetas. El método de las Direcciones Primarias, que ahora vamos a describir, se basa principalmente en la rotación axial de la tierra, que hace que los cuerpos celestes asciendan, culminen y desciendan.

      Debido a esta diferencia entre los dos sistemas, tienen que adoptarse diferentes reglas y métodos de cálculo. El cálculo de las direcciones que ahora van a describirse es una tarea mucho más pesada que todas las anteriores, y todos los estudiantes que intentan abordar el tema se quejan al principio de las dificultades que lo rodean. Esto no puede evitarse del todo, aunque aquellos que tienen algunos conocimientos de matemáticas y de astronomía elemental tendrán una ventaja sobre los que no los tienen.

       Los capítulos que siguen se han dispuesto de modo que presenten primeramente la parte más sencilla del tema. Tras echar una ojeada a través de las fórmulas trigonométricas, el lector debería estudiar cuidadosamente el cálculo del Espéculo, debería aplicarlo prácticamente a su propio horóscopo o a cualquier otro que le interese y no debería pasar adelante hasta que comprendiese ese capítulo y se familiarizase convenientemente con el tema. Cualquier error o mala interpretación introducidos en este punto podrían invalidar todos los cálculos subsiguientes.

       Se dan varios ejemplos de cada clase de dirección para simplificar la materia; y pronto veremos que las verdaderas objeciones a las Direcciones Primarias no consisten en su dificultad (porque ésta no es seria una vez que se ha entendido el método), sino, en primer lugar, la cantidad de tiempo que ocupan los cálculos, que es considerable; y, en segundo lugar, las marcadas diferencias de opinión que siempre han existido y que aún existen con respecto a muchos puntos.


Capítulo XX. Fórmulas y tablas trigonométricas

      Las fórmulas siguientes se necesitan para levantar el horóscopo y para calcular el Espéculo o las Direcciones Primarias. Las reunimos aquí en un solo capítulo para una mejor referencia. Su uso se explicará e ilustrará plenamente en capítulos subsiguientes.

      El uso de logaritmos en los cálculos astrológicos era común en la época en que Alan Leo publicó su El Horóscopo Progresado (1905), y venía exigido por la inexistencia de calculadoras electrónicas y ordenadores. Mediante estos logaritmos se pretendía simplificar los cálculos, que se hacían todavía a mano, de modo que multiplicaciones y divisiones sexagesimales pudieran ser abordadas como simples sumas y restas. Actualmente, gracias a la potencia del cálculo electrónico programado, las tablas de logaritmos han quedado obsoletas, resultando más rápido y más preciso el uso directo de las operaciones originales (multiplicaciones y divisiones).
       Por esta razón, hemos completado las fórmulas logarítmicas de Alan Leo con fórmulas trigonométricas equivalentes sin logaritmos. Además, hemos implementado estas fórmulas en una hoja de cálculo ( Formulas de Alan Leo.xls ), que facilita y acelera extraordinariamente el trabajo con direcciones primarias. La hoja no incluye todas las fórmulas que Alan Leo expone en el presente capítulo, pero sí todas las que realmente utiliza en las explicaciones sobre el sistema primario, desde aquí hasta el final del libro. Para visualizarla se requiere Microsoft Excel. También puede abrirse con OpenOffice.

FÓRMULA I

Para convertir la Longitud en Ascensión Recta, sin la Latitud. 

   Log. coseno de oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
+ Log. tangente long. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. long. desde CANCER o CAPRICORNIO)
= Log. tangente A.R. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. A.R. desde CANCER o CAPRICORNIO)

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 atan((cos(oblicuidad de la eclíptica) x tan(longitud))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                 atan(1/(cos(oblicuidad de la eclíptica) x 1/(tan(longitud))

       Si en ARIES, TAURO o GEMINIS, la solución será la A.R. que se necesita. Si en CANCER, LEO o VIRGO, añadir 90º. Si en LIBRA, ESCORPIO o SAGITARIO, añadir 180º. Si en CAPRICORNIO, ACUARIO o PISCIS, añadir 270º.

    NOTA: Esta fórmula se emplea en el caso del Sol o cualquier cuerpo celeste que se toma sin la latitud o de cualquier grado de la eclíptica sin latitud.

FÓRMULA II

Para convertir la Ascensión Recta en Longitud, sin la Latitud.

   Log. coseno de oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
+ Log. cotangente A.R. desde ARIES o LIBRA (o Log. tangente A.R. desde CANCER o CAPRICORNIO)
= Log. cotangente long. desde ARIES o LIBRA (o Log. tangente long. desde CANCER o CAPRICORNIO)

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                  atan(1/(cos(oblicuidad de la eclíptica) x 1/(tan(A.R.)))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  atan(cos(oblicuidad de la eclíptica) x (tan(A.R.))

    Si en ARIES, TAURO o GEMINIS, la solución será la longitud eclíptica que se necesita. Si en CANCER, LEO o VIRGO, añadir 90º. Si en LIBRA, ESCORPIO o SAGITARIO, añadir 180º. Si en CAPRICORNIO, ACUARIO o PISCIS, añadir 270º.

    NOTA: Esta fórmula se emplea en el caso del Sol o de cualquier cuerpo celeste tomado sin la latitud o de cualquier grado de la eclíptica sin la latitud.

FÓRMULA III

Dada la Longitud, hallar la Declinación, sin la Latitud.

   Log. seno de oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
+ Log. seno long. desde ARIES o LIBRA (o Log. coseno long. desde CANCER o CAPRICORNIO)
= Log. seno Declinación.

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 asin((sin(oblicuidad de la eclíptica) x sin(longitud))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  asin((sin(oblicuidad de la eclíptica) x cos(longitud))

      NOTA: Esta fórmula se emplea en el caso del Sol o de cualquier cuerpo celeste tomado sin la latitud o de cualquier grado de la eclíptica sin la latitud.

FÓRMULA IV

Dada la Declinación, hallar la Longitud, sin la Latitud.

   Log. seno Declinación
- Log. seno oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
= Log. seno long. desde ARIES o LIBRA (o Log. coseno long. desde CÁNCER o CAPRICORNIO).

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 asin(sin(declinación)/sin(oblicuidad de la eclíptica))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  acos(sin(declinación)/sin(oblicuidad de la eclíptica))

      NOTA: Esta fórmula se emplea en el caso del Sol o de cualquier cuerpo celeste tomado sin la latitud o de cualquier grado de la eclíptica sin la latitud.

FÓRMULA V

Para hallar la Diferencia Ascensional.

   Log. tangente Declinación
+ Log. tangente latitud del lugar de nacimiento
= Log. seno diferencia ascensional.

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      asin(tan(declinación) x tan(latitud geográfica del lugar de nacimiento))

FÓRMULA VI

Para hallar la Ascensión Oblicua.

      Con declinación N., A.R. - diferencia ascensional = Asc. Obl.
      Con declinación S., A.R. + diferencia ascensional = Asc. Obl.

      NOTA: Esto es para lugares en latitud N. Para lugares en latitud S., invertir las reglas; sumar en vez de restar y restar en vez de sumar.

       Ascensión Recta del Medio Cielo + 30º = Ascensión Oblicua de la cúspide de la casa XI.
       Ascensión Recta del Medio Cielo + 60º = Ascensión Oblicua de la cúspide de la casa XII.
       Ascensión Recta del Medio Cielo + 90º = Ascensión Oblicua de la cúspide de la casa I.
       Ascensión Recta del Medio Cielo + 120º = Ascensión Oblicua de la cúspide de la casa II.
       Ascensión Recta del Medio Cielo + 150º = Ascensión Oblicua de la cúspide de la casa III.

FÓRMULA VII

Para hallar el Semi-Arco.

       Para semi-arco diurno con declinación N, 90º + Diferencia Ascensional.
       Para semi-arco diurno con declinación S, 90º - Diferencia Ascensional.
       Para semi-arco nocturno con declinación N, 90º - Diferencia Ascensional.
       Para semi-arco nocturno con declinación S, 90º + Diferencia Ascensional.

      NOTA: Esto es para lugares en latitudes norte. Para las latitudes sur, invertir las reglas; sumar en vez de restar y restar en vez de sumar.

       Cualquiera de los dos semi-arcos restado de 180º dará el otro semi-arco.

FÓRMULA VIII

Dada la Ascensión Oblicua, hallar el grado de Longitud en la cúspide de cualquier casa.

Parte 1

   Log. coseno asc. obl. desde ARIES o LIBRA (o Log. seno asc. obl. desde CANCER o CAPRICORNIO).
+ Log. cotangente polo de la Casa.
= Log. cotangente primer ángulo. Llamemos a éste A.

       El polo del Ascendente es la latitud del lugar de nacimiento. El medio cielo no tiene polo. Los polos de las otras casas se dan al final de estas fórmulas y por la Fórmula IX.

Parte 2

       Si la ascensión oblicua es menor que 90º o mayor que 270º, A + oblicuidad de la eclíptica (23º 27') = B.
       Si la ascensión oblicua es mayor que 90º y menor que 270º, la diferencia entre la oblicuidad y A es igual a B.

       NOTA. Esto es para lugares en latitudes norte. Para latitudes sur, invertir las reglas.

Parte 3

   Log. coseno B (complemento aritmético)
+ Log. coseno A
+ Log. tangente asc. obl. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. long. desde CANCER o CAPRICORNIO)
= Log. tangente long. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. long. desde CANCER O CAPRICORNIO).

       NOTA: Si B excede de 90º, tomar log. seno(compl. arit.) de su exceso. La longitud seguirá entonces el camino inverso del punto desde el cual se toma la ascensión oblicua.

       El complemento aritmético de un logaritmo es el logaritmo restado de 10'000 0000 (de 10 seguido de tantas cifras como cifras hay a la derecha del punto decimal en el logaritmo). La manera más rápida de hallarlo es restando cada cifra del log. de 9, empezando por la izquierda y finalmente restando la última cifra a la derecha de 10. Empleando el c.a. (que es como generalmente se abrevia) en vez del log. equivale a dividir en vez de multiplicar por el número que el log. representa.

       Cuando la A.R. del M.C. es exactamente 0º (ó 360º) ó 180º: log.seno oblicuidad de la eclíptica + log. tangente latitud del lugar de nacimiento = log. cotangente grado ascendente desde el equinoccio más próximo.

FÓRMULA IX

Para hallar el Polo de cualquier casa.

Parte 1

   Log. tangente de oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
+ Log. tangente latitud del lugar de nacimiento
= Log. seno X

Parte 2

   Log. seno 1/3 X
+ Log. cotangente oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
= Log. tangente polo de las Casas Undécima y Tercera (que tienen el mismo polo).

      Esta es la fórmula a partir de la cual se calculan las Tablas de las Casas para latitudes norte. El señor J.G.Dalton ha recomendado el empleo de aproximadamente 18º 30' de declinación en vez de toda la oblicuidad de 23º 27' y damos una Tabla de Casas así calculada al final de estas formulas. La diferencia es muy exigua, salvo en latitudes muy altas. La oblicuidad de la eclíptica se da cada año en el Nautical Almanac y otras publicaciones astronómicas; de un año para otro la variación es muy ligera.

FÓRMULA X

Dadas la A.R. y la Declinación, hallar la Longitud y la Latitud.

Parte 1

   Log. seno A.R. desde ARIES o LIBRA (o Log. coseno A.R. desde CANCER O CAPRICORNIO)
+ Log. cotangente declinación.
= Log. tangente ángulo A.

Parte 2

   Para A.R. y declinación del mismo nombre (si A.R. es menor que 180º se llama Norte; si es mayor, se llama Sur), A + oblicuidad de la eclíptica (23º 27') = B.

   Pero si A.R. y declinación son de nombres diferentes, la diferencia entre A y la oblicuidad será igual a B.

Parte 3

   Para la Longitud:

   Log. seno A (complemento aritmético)
+ Log. seno B
+ Log. tangente A.R. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. A.R. desde CANCER o CAPRICORNIO).
= Log. tangente long. desde ARIES o LIBRA (o Log. cotan. long. desde CANCER o CAPRICORNIO).

Parte 4

   Para la Latitud:

   Log. coseno A (complemento aritmético)
+ Log. coseno B
+ Log. seno declinación
= Log. seno latitud

   NOTA: Si B es mayor que 90º emplear el coseno de su exceso en la Parte 3 y su seno en la parte 4. La latitud será entonces de nombre contrario al de la declinación.

FÓRMULA XI

Dadas la Longitud y la Latitud, hallar la A.R. y la Declinación.

Parte 1

   Log. seno long. desde ARIES o LIBRA (o Log. coseno long. desde CÁNCER o CAPRICORNIO)
+ Log. tangente oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
= Log. tangente A.

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 A = atan(sin(longitud) x tan(oblicuidad de la eclíptica))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  A = atan(cos(longitud) x tan(oblicuidad de la eclíptica))

Parte 2

   Para longitud y latitud del mismo nombre (si long. es menor que 180º se llama Norte, si es mayor se llama Sur):
           90º - latitud = B.
   Para longitud y latitud de nombre diferente:
           90º + latitud = B.
   Luego B - A = C.

Parte 3

Para la Declinación:
   Log. coseno A (complemento aritmético)
+ Log. coseno C
+ Log. coseno oblicuidad de la eclíptica (23º 27')
= Log. seno declinación.

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Declinación = asin(cos(C) / cos(A) x cos(oblicuidad de la eclíptica))

Parte 4

Para la A.R.:
   Log. coseno declinación (complemento aritmético)
+ Log. coseno long. desde ARIES o LIBRA (o Log. seno long. desde CÁNCER o CAPRICORNIO).
+ Log. coseno latitud
= Log. coseno A.R. desde ARIES o LIBRA (o Log. seno A.R. desde CANCER o CAPRICORNIO).

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 A.R. = acos(cos(longitud) / cos(declinación) x cos(latitud))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  A.R. = asin(sin(longitud) / cos(declinación) x cos(latitud))

FÓRMULA XII

Dadas la Longitud, la Latitud y la Declinación, hallar la A.R.

   Log. coseno declinación (complemento aritmético)
+ Log. coseno latitud
+ Log. coseno long. desde ARIES o LIBRA (o log. seno long. desde CANCER o CAPRICORNIO)
= Log. coseno A.R. desde ARIES o LIBRA (o log. seno A.R. desde CANCER o CAPRICORNIO)

Fórmula equivalente (sin logaritmos):
      Desde ARIES o LIBRA:
                 A.R. = acos((cos(latitud) / cos(declinación) x cos(longitud))
      Desde CÁNCER o CAPRICORNIO:
                  A.R. = asin((cos(latitud) / cos(declinación) x sin(longitud))

***

       Lo que sigue son las reglas para medir la posición mundana de un planeta. Si la Distancia Cuspidal se escribe en el Espéculo, debería indicarse claramente desde qué cúspide se mide y si el planeta está encima o debajo, E. u O., de esa cúspide. Es conveniente medir desde la cúspide más cercana, pero cuando un planeta se encuentra más o menos en el centro de una Casa, la distancia puede tomarse desde una u otra cúspide.

    La posición de un planeta tal y como se muestra en el mapa corriente del horóscopo es su posición medida en la eclíptica. La posición mundana según es calculada por estas reglas es la posición del cuerpo del planeta según su semi-arco, expresado en grados medidos sobre el Ecuador. En ocasiones sucede que, debido a la latitud de un planeta, en tanto que según el mapa corriente está en una casa, sin embargo, cuando se calcula con estas reglas aparece en otra. Un ejemplo lo encontramos en el caso del horóscopo de la Sra. Besant en el que Venus, aun cuando aparentemente está en la casa séptima, se encuentra en realidad, debido a su gran latitud sur, en la sexta. Esto se explica más adelante.

FÓRMULA XIII

Para medir la posición mundana o la distancia cuspidal

Para un planeta en la Casa Primera. Su D.M. inferior restada de su S.A. nocturno dará su distancia debajo de la cúspide de la Casa Primera.
Dos tercios de su S.A. nocturno restados de su D.M. inferior darán la distancia encima de la cúspide de la Casa Segunda.

Para un planeta en la Casa Segunda. Su D.M. inferior restado de dos tercios de su S.A. nocturno da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Segunda.
Un tercio de su S.A. nocturno restado de su D.M. inferior da su distancia encima de la cúspide de la Casa Tercera.

Para un planeta en la Casa Tercera. Su D.M. inferior restada de un tercio de su S.A. nocturno da la distancia debajo de la cúspide de la Casa Tercera.
Su D.M. inferior es ya directamente su distancia encima de la cúspide de la Casa Cuarta.

Para un planeta en la Casa Cuarta. Su D.M. inferior es su distancia oeste de la cúspide de la Casa Cuarta.
Su D.M. inferior restada de un tercio de su S.A. nocturno da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Quinta.

Para un planeta en la Casa Quinta. Un tercio de su S.A. nocturno restado de su D.M. inferior da su distancia encima de la cúspide de la Casa Quinta.
Su D.M. inferior restada de dos tercios de su S.A. nocturno da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Sexta.

Para un planeta en la Casa Sexta. Dos tercios de su S.A. nocturno restados de su D.M. inferior da su distancia encima de la cúspide de la Casa Sexta.
Su D.M. inferior restada de su S.A. nocturno da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Séptima.

Para un planeta en la Casa Séptima. Su D.M. superior restada de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Séptima.
Dos tercios de su S.A. diurno restados de su D.M. superior dan su distancia debajo de la cúspide de la Casa Octava.

Para un planeta en la Casa Octava. Su D.M. restada de dos tercios de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Octava.
Un tercio de su S.A. diurno restado de su D.M. superior da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Novena.

Para un planeta en la Casa Novena. Su D.M. restada de un tercio de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Novena.
Su D.M. superior es su distancia oeste de la cúspide de la Casa Décima.

Para un planeta en la Casa Décima. Su D.M. superior es su distancia este de la cúspide de la casa Décima.
Su D.M. superior restada de un tercio de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Undécima.

Para un planeta en la Casa Undécima. Un tercio de su S.A. diurno restado de su D.M. superior da su distancia debajo de la cúspide de la Casa Undécima.
Su D.M. superior restada de dos tercios de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Duodécima.

Para un planeta en la Casa Duodécima. Dos tercios de su S.A. diurno restados de su D.M. superior da la distancia debajo de la cúspide de la Casa Duodécima.
Su D.M. superior restada de su S.A. diurno da su distancia encima de la cúspide de la Casa Primera.

     

TABLA DE POLOS DE LAS CASAS

(De Spherical Basic of Astrology de Dalton)

Latitud geográfica.	XI  y  III	XII  y  II
0º	0º 00.0'	0º 00.0'
1º	0º 20.0'	0º 40.0'
4º	1º 20.1'	2º 40.2'
7º	2º 20.7'	4º 40.8'
10º	3º 21.9'	6º 42.4'
13º	4º 24.3'	8º 45.3'
16º	5º 28.0'	10º 49.8'
19º	6º 33.5'	12º 56.5'
22º	7º 41.4'	15º 05.9'
25º	8º 52.0'	17º 18.3'
28º	10º 05.8'	19º 34.2'
31º	11º 23.5'	21º 54.1'
34º	12º 45.8'	24º 18.7'
37º	14º 13.7'	26º 48.6'
40º	15º 48.1'	29º 24.1'
42º	16º 55.1'	31º 11.3'
44º	18º 06.3'	33º 01.7'
46º	19º 22.1'	34º 55.5'
48º	20º 42.8'	36º 52.8'
50º	22º 09.0'	38º 53.6'
51º	22º 54.6'	39º 55.5'
52º	23º 41.9'	40º 58.6'
53º	24º 31.2'	42º 02.8'
54º	25º 22.6'	43º 08.1'
55º	26º 16.1'	44º 14.5'
56º	27º 12.0'	45º 22.1'
57º	28º 10.5'	46º 31.0'
58º	29º 11.8'	47º 41.2'
59º	30º 16.3'	48º 52.7'
60º	31º 24.1'	50º 05.7'

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